โมเมนท์รอบค่าเฉลี่ย ความเบ้ และความโด่ง

โมเมนท์รอบค่าเฉลี่ย (Moments about the Mean)

ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีความสัมพันธ์กันเป็นชุดของสถิติพื้นฐานที่เรียกว่าโมเมนท์ โมเมนท์รอบค่าเฉลี่ย 4 ค่าแรกคือ

โมเมนท์ที่ r เขียนได้ในรูป

คำว่า "โมเมนท์" มีกำเนิดมาจากทางสาขาเครื่องกล เพื่อความเข้าใจจะยกตัวอย่างคานกระดกที่มีแกนรองคานอยู่ตรงกลาง ถ้าเรากำหนด x1 เป็นระยะห่าง (distance) จากแกนรองคานซึ่งมีจำนวน f1 ตัวแล้ว f1x1 จะเรียกว่าโมเมนท์ และถ้ากำหนด x2 เป็นระยะห่างจากแกนรองคานซึ่งมีจำนวน f2 ตัวแล้ว f2x2 ก็จะเรียกว่าโมเมนท์ เมื่อนำโมเมนท์มารวมกันก็คือ f1x1 + f2x2 จะเรียกว่าโมเมนท์ที่หนึ่ง ถ้านำระยะห่างมายกกำลังสองก็จะได้โมเมนท์ที่สอง ถ้านำระยะห่างมายกกำลังสามจะได้โมเมนท์ที่สาม ฯลฯ เมื่อเรานำไปเปรียบกับการแจกแจงความถี่ ค่ากึ่งกลางของการแจกแจงก็เปรียบได้กับแกนที่ใช้รองคานกระดก และความถี่ในแต่ละค่าคะแนนก็เปรียบได้กับจำนวนของระยะห่าง
สังเกตจากสมการ โมเมนท์ที่หนึ่งจะมีค่าเป็น 0 (โมเมนท์ในทางเครื่องกลที่เป็นช่วงห่างจากแกนรองคานจะไม่มีค่าติดลบ แต่โมเมนท์ในทางสถิติที่เป็นช่วงห่างจากค่าเฉลี่ยจะมีค่าติดลบ ช่วงห่างของค่าที่มากกว่าค่าเฉลี่ยจะมีค่าเป็นบวก และช่วงห่างของค่าที่น้อยกว่าค่าเฉลี่ยจะมีค่าเป็นลบ ดังนั้นผลรวมจึงมีค่าเป็นศูนย์) และโมเมนท์ที่สองจะมีค่าเป็น (N - 1)/N เท่าของความแปรปรวน โมเมนท์ที่ 3 ใช้ในการคำนวณค่าความเบ้ และโมเมนท์ที่ 4 ใช้ในการคำนวณค่าความโด่ง

ความเบ้และความโด่ง (Measures of Skewness and Kurtosis)

การหาความเบ้นั้นต้องใช้โมเมนท์ที่ 2 และโมเมนท์ที่ 3 ในการคำนวณด้วยสูตร

หรือใช้ค่าเฉลี่ยและมัธยมฐานในการคำนวณด้วยสูตร

ในกรณีที่การแจกแจงมีลักษณะสมมาตรนั้น g1 = 0 ถ้าการแจกแจงมีลักษณะเบ้บวก (Positively Skewed) ค่า g1 จะมีค่าเป็นบวก ถ้าการแจกแจงมีลักษณะเบ้ลบ (Negatively Skewed) ค่า g1 จะมีค่าติดลบ
สำหรับการวัดความโด่งนั้นจะใช้ค่าโมเมนท์ที่ 2 และ 4 ในการคำนวณด้วยสูตร

หรืออีกสูตรหนึ่งคือ

Q1 กับ Q3 ก็คือคะแนนที่ตำแหน่งควอไทล์ที่ 1 และควอไทล์ที่ 3 ส่วน P10 และ P90 ก็คือคะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทลที่ 10 และ 90
การแจกแจงจะเป็นโค้งปกติเมื่อ g2 = 0 ถ้า g2 มีค่าต่ำกว่า 0 การแจกแจงจะมีลักษณะแบนราบ (Platykurtic) และหาก g2 มีค่ามากกว่า 0 การแจกแจงจะมีลักษณะโด่ง (Leptokurtic)

Positively Skewed
Negatively Skewed
Leptokurtic และ Platykurtic

เอกสารชุดนี้จัดทำโดย : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. เมษายน ๒๕๔๔