การแจกแจงปกติของตัวแปรหลายตัว (The Multivariate Normal Distribution)

การแจกแจงปกติของตัวแปรหลายตัว ก็คือรูปแบบทั่ว ๆ ของโค้งการแจกแจงตัวแปรเดียวที่มีหลายมิติ สมการทางคณิตศาสตร์กรณีตัวแปรเดียวสามารถใช้ได้กับการแจกแจงปกติกรณีหลายตัวแปร ตัวอย่างเช่น ถ้ามีตัวแปร 2 ตัวคือ X1 และ X2 การแจกแจงปกติของตัวแปร 2 ตัวนี้สามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันดังนี้

เมื่อ e คือค่าคงที่ประมาณ 2.71824, คือค่าคงที่ประมาณ 3.14159, X1, X2 คือตัวแปรที่สนใจศึกษา, 1, 2 คือค่าเฉลี่ยประชากรของตัวแปร X1 และ X2, 1, 2 คือความแปรปรวนประชากรของตัวแปร X1 และ X2 และ คือค่าสหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร X1 และ X2
ดูตัวอย่างการพล็อตกราฟฟังก์ชั่นนี้จะมีลักษณะคล้ายกับรูประฆังคว่ำ ดังภาพประกอบ 1 และใช้ภาพตัดขวาง (cross section) แสดงพื้นผิว (surface) ที่เรียกว่า isodensity contours สามารถกำหนดเส้นความสูงต่ำของพื้นผิวได้ด้วยสมการ

ภาพประกอบ 1 การแจกแจงปกติของ 2 ตัวแปร

ภาพประกอบ 2 การแจกแจงปกติของ 2 ตัวแปรกับภาพตัดขวางที่จุดศูนย์กลาง 1 = 10, 20

ภาพประกอบ 2 แสดงการแจกแจงของ 2 ตัวแปรที่มีเส้นขอบหลากหลายที่กระจายออกจากจุดศุนย์กลาง (1 = 10, 20) ศูนย์กลางนี้โดยปกติจะเรียกว่า เซ็นทรอยด์ (centroid) ของประชากรทั้ง 2 ตัวแปร ในทางกลับกันก็คือเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยค่าเฉลี่ยของตัวแปรที่สังเกตได้ 2 ตัว
ในกรณีตัวแปรเดียว สูตรแปลงค่าอย่างง่ายที่ใช้ในการแปลงค่าตัวแปรก็คือ ค่ามาตรฐาน Z ค่ามาตรฐาน Z มีสูตรว่า Z = และเมื่อยกกำลังสองจะเท่ากับ Z2 = 2 = หรือเขียนในรูปหนึ่งได้ว่า (คือผลของส่วนเบี่ยงเบนของคะแนนกับค่าเฉลี่ยและส่วนกลับของความแปรปรวน) ในกรณีหลายตัวแปร สูตรแปลงค่าจะมีตัวคูณมากกว่า แต่สามารถประยุกต์สูตรของตัวแปรเดียวมาใช้ได้
สำหรับค่ามาตรฐานของตัวแปรหลายตัว สูตรในการแปลงจะใช้ 2 (chi-square) และเขียนขยายจากสูตร (X - )(2)-1(X - ) ยกเว้นว่าตัวแปรหลายตัวนั้นไม่มีความสัมพันธ์กัน ดังนั้นค่ามาตรฐานของ 2 ตัวแปรเขียนในรูปของ 2 ได้ว่า

2 = [X1 - 1, X2 - 2]' -1 [X1 - 1, X2 - 2]

หรือเขียนในรูปอย่างง่ายก็คือ 2 = X'-1X เมื่อ X' และ X คือเวกเตอร์ที่แสดงส่วนเบี่ยงเบนของคะแนนจากค่าเฉลี่ย และ -1 เป็นส่วนกลับ (inverse) ของเมตริกซ์ความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมระหว่าง 2 ตัวแปร สำหรับกรณี 2 ตัวแปรส่วนกลับจะเท่ากับ

ค่า 2 สามารถเขียนอีกสูตรหนึ่งได้ว่า

และในกรณีที่มีการตรวจสอบการแจกแจงปกติของตัวแปรเดียว สูตร 2 จะลดลงเหลือเพียง



บรรณานุกรม
Marcoulides, George A. and Hershberger, Scott L.Multivariate Statistical Methods : A First Course. New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, Inc., 1997.

เอกสารชุดนี้จัดทำโดย : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. มิถุนายน ๒๕๔๖